在微積分出現之前，計算複雜曲線形狀的面積是一個難以克服的挑戰。本課將靜態幾何學——例如使用公式 $A = lw$ 計算正方形面積——與動態的微積分世界相連接。我們發現，無論是計算拋物線拱下的面積，還是火箭在太空中行進的距離，其背後的邏輯都完全相同：即無限小且可管理的切片累加過程。
1. 面積問題：從多邊形到極限
雖然多邊形的面積可以通過分解為三角形來求得，但具有曲線邊界的區域 $S$ 則需要不同的方法。我們定義 面積問題 為在區間 $[a, b]$ 上精確求出連續且非負函數 $y = f(x)$ 下方的面積。
步驟 1：分割
將區間 $[a, b]$ 分成 $n$ 個等寬的子區間，其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。端點分別為 $x_0, x_1, \dots, x_n$。
步驟 2：近似
構造 $n$ 個矩形。使用 右端點 估計法 ($R_n$)，第 $i$ 個矩形的高度為 $f(x_i)$。總面積近似為 $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$。
步驟 3：精化
隨著 $n$ 增大，誤差（矩形與曲線之間的空隙）趨於消失。精確面積 $A$ 定義為極限：$\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$。
2. 距離與速度的二元性
這個 距離問題 提出了一個問題：若物體的速度隨時間變化，它會移動多遠？若速度恆定，則 $distance = velocity \times time$。若速度變化，我們可將其視為在極短時間間隔 $\Delta t$ 內「局部恆定」。
「我們測量速度的頻率越高，估算就越準確，因此很合理地認為，實際行進距離 $d$ 是這些表達式的極限。」
範例演練：$y = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上（範例 1）
使用右端點估計拋物線 $y = x^2$ 從 0 到 1 之間的面積，取 $n=4$：
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
若使用左端點（$L_4$），結果為 $0.21875$。真實面積被「夾在」這兩個界限之間：$0.21875 < A < 0.46875$。
🎯 核心原理
積分本質上是將無限多個無限小的元件累加起來以獲得整體的過程。速度-時間圖形下方的面積代表總位移。
$Distance = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \Delta t$